17 października 2018
Zadania o dwóch pociągach, jednym jadącym z miasta A do miasta B oraz drugim jadącym z miasta B do miasta A straszyły już naszych dziadków. Te, jakże typowe zadania na zależności pomiędzy prędkością, drogą oraz czasem pojawiają się w większości zbiorów zadań zarówno z matematyki jak i fizyki. Kolejne pokolenia autorów tworzą najróżniejsze warianty tych zadań, często zmieniając pojazdy na auta, samoloty czy statki i wydaje się, że wszystko tutaj już zostało wymyślone. Wśród masy zadań typowych pojawiają się jednak zadania nietypowe, w których trzeba się wykazać tym co w matematyce najważniejsze, czyli umiejętnością logicznego myślenia. W tym artykule zaprezentuję Państwu kilka takich perełek. Czytelnikom proponuję przed przeczytaniem proponowanych rozwiązań, samodzielną próbę rozwiązania danego problemu.
Na początku zadanie, które rozwiązując schematycznie doprowadza nas do bardzo skomplikowanych rachunków.
Zadanie 1
Miasta A i B są oddalone od siebie o 300 km. W tym samym momencie, w którym z miasta A do miasta B wyrusza pociąg pośpieszny, z miasta B do miasta A wyrusza pociąg osobowy oraz z miasta B wylatuje samolot. Pociąg pośpieszny jedzie z prędkością 100 km/h, pociąg osobowy z prędkością 50 km/h, natomiast samolot leci z prędkością 400 km/h. Samolot lata w następujący sposób: na początek w kierunku pociągu pośpiesznego, w momencie spotkania zawraca w kierunku pociągu osobowego, po spotkaniu pociągu osobowego zawraca w kierunku pociągu pośpiesznego i tak na zmianę do momentu spotkania obu pociągów. Ile kilometrów przeleci samolot do momentu spotkania pociągów?
Rozwiązanie
W celu prostego rozwiązania tego zadania, należy spojrzeć na nie w sposób trochę niekonwencjonalny. Na początku zauważmy, że samolot lata ze stałą prędkością dopóki nie dojdzie do spotkania pociągów i trasa jaką pokonuje nie ma tutaj znaczenia. Dwa pociągi zbliżają się do siebie z prędkością będącą sumą prędkości jednostkowych, czyli z prędkością 150 km/h. Ponieważ miasta A i B są oddalone od siebie o 300 km, do spotkania pociągów dojdzie po 2 godzinach. W takiej sytuacji samolot również latał 2 godziny, czyli musiał przebyć odległość 800 km, która stanowi odpowiedź na nasze zadanie.
Drugi z przedstawionych problemów jest przykładem sytuacji pozornie zbyt małej ilości danych, potrzebnych do rozwiązania.
Zadanie 2
Miasta A i B są położone nad tą samą rzeką, przy czym miasto B bliżej jej ujścia do morza. Motorówka płynie z miasta A do miasta B 2 dni, natomiast z miasta B do miasta A już 3 dni. Ile dni będzie trwał spływ tratwy z miasta A do miasta B?
Rozwiązanie
W zadaniu nie mamy podanych ani prędkości motorówki i rzeki, ani odległości pomiędzy miastami. W tej sytuacji do treści zadania wprowadzimy je sobie jako niewiadome:
X – odległość pomiędzy miastami A i B, ?? – prędkość motorówki, ?? – prędkość rzeki. Z treści zadania dostajemy następujące dwa równania
(1) 2(?? + ??) = ?
(2) 3(?? − ??) = ?
Równania te wynikają z faktu, że prędkość ruchu z prądem rzeki jest sumą prędkości, a pod prąd różnicą. Jeśli porównamy ze sobą równania (1) i (2) to dostaniemy zależność
2(?? + ??) = 3(?? − ??), skąd w prosty sposób (przenosząc odpowiednio niewiadome na jedną stronę równania) otrzymujemy zależność ?? = 5??. Stwierdzamy więc, że prędkość motorówki jest pięć razy większa od prędkości rzeki. Jeśli tą zależność wykorzystamy w równaniu (1), to otrzymamy równość 2(5?? + ?? ) = ? i ostatecznie 12?? = ?. Tak więc tratwa bez własnego napędu będzie płynąć z miasta A do miasta B 12 dni.
Na zakończenie zadanie żartobliwe.
Zadanie 3
Jesteś maszynistą pociągu jadącego z miasta A do miasta B. Odległość pomiędzy tymi miastami wynosi 342 km. Pociąg wyjeżdża z miasta A o godzinie 14. Na odcinku o 127 km do 221 km z powodu złego stanu torowiska, maksymalna prędkość wynosi 60 km/h. W czasie podróży łączny czas postojów na przystankach jest równy 42 minuty. Ile lat ma maszynista pociągu?
Rozwiązanie
Wiek maszynisty jest równy wiekowi czytelnika, co wynika z początku treści zadania „Jesteś maszynistą pociągu”.